一.含义：

　　所谓和定最值问题，即指题干中给出的某几个量的和一定，题型特征为：题干中出现“最多……，至多……”或者“最少……，至少……”等等。

　　二.解题原则：

　　(1)求某个量的最大值，让其他量尽量小;

　　(2)求某个量最小值，让其他量尽量大。

　　三.例题讲解：

　　例1.5人参加十分制考试的平均成绩为6分，所有人得分为互不相同的正整数。问第3名最高考了多少分?

　　A.6B.7

　　C.8D.9

　　【答案】C。要求第3名成绩最高，则其他人成绩尽量低。利用平均数构造等差数列，8、7、6、5、4。第4名最低为2分，第5名最低为1分，比数列中对应项共少了3×2=6分;利用盈余亏补思想，前3名共多6分，6÷3=2，每项多2分，5人的成绩分别为10、9、8、2、1分，即第3名最高考了8分。故答案选C。

　　例2.8人参加百分制考试的平均成绩为90.5分，所有人得分为互不相同的正整数。问第4名最低考了多少分?

　　A.87B.88

　　C.89D.90

　　【答案】B。解析：要求第4名成绩最低，则其他人成绩尽量高。利用平均数构造等差数列，94、93、92、91、90、89、88、87。前3名最高分依次为100、99、98分，比数列中对应项共多了6×3=18分。利用盈余亏补思想，后5名共少18分，18÷5=3……3，每项少3分，剩余3分分给后3名，即第4名最低考了91-3=88分。故答案选B。

　　例3.3人参加十分制竞赛的成绩总和为15分，所有人得分为互不相同的正整数。问

　　第2名最高考了多少分?

　　A.6B.7

　　C8D.9

　　【答案】A。解析：要求第2名成绩最高，则其他人成绩尽量低。3人的平均分为5分，利用平均数构造等差数列，6、5、4。第3名最低为1分，比数列中对应项少了3分。利用盈余亏补思想，前2名共多3分，3÷2=1……1，每项多1分，第1名再

　　多1分，3人的成绩分别为8、6、1分，即第2名最高考了6分。故答案选A。

　　总结：(1)已知几个数的平均数，利用逆向思维，直接构造等差数列，然后利用盈余亏补思想求解。

　　(2)已知几个数的总和，求平均数，再利用逆向思维，构造数列，并利用盈余亏补思想求解。

　　四.真题展示：

　　例1.植树节来临之际，120人参加义务植树活动，共分成人数不等且每组不少于10

　　人的六个小组，每人只能参加一个小组，则参加人数第二多的小组最多有()人。

　　A.34B.35

　　C.36D.37

　　【答案】C。解析：要使第二多的小组的人数尽量多，则其他小组的人数应尽可能少。120÷6=20，利用平均数构造数列，22、21、20、19、18、20。人数最少的四个

　　小组分别有10、11、12、13人，比数列中对应项共少了10+7×3=31人，利用盈余亏补思想，前2名共多31分，31÷2=15……1，则参加人数第二多的小组最多有21+15=36人。故答案选C。

　　例2.某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。如果专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店?

　　A.2B.3

　　C.4D.5

　　【答案】C。若想使排名最后的数量最多，则其他专卖店数量尽可能少，即数量均分。100÷10=10，设数量最少的城市有10家专卖店，利用平均数10构造等差数列，14、13、12、11、10、9、8、7、6。因为第5多的城市有12家，则第1~4多城市的专卖店数量依次多2家，共多了10家。又最少的一家数量不能超过第9多的城市，所以最多为5家，比对应的10家少了5家，综上后面5家的数量共减少5，即8、7、6、5、

　　4。所以专卖店数量排名最后的城市最多有4家专卖店。故答案选C。

　　通过上面基础题型的总结和真题的展示，我们可以发现，求解和定最值问题的方法为：逆向思维——构造数列——盈余亏补，按照这个方法去求解和定最值问题可以又快又准的得到正确答案。

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